SegmentTree
(src/data_structure/segment_tree.hpp)

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• Last update: 2024-11-09 01:34:39+09:00
• Include: #include "src/data_structure/segment_tree.hpp"

SegmentTree

モノイド，つまり

• 結合則: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ for all $a, b, c \in S$
• 単位元の存在: $a \cdot e = e \cdot a = a$ for all $a \in S$

を満たす代数構造に対し使用できるデータ構造です．

長さ $N$ の $S$ の配列に対し，

• 要素の $1$ 点変更
• 区間の要素の総積の取得

を $O(\log N)$ で行うことができます．

ただし，これは二項演算 op と単位元取得 e が定数時間で動くと仮定したときの計算量です．
これらが $O(f(n))$ かかる場合は，すべての計算量が $O(f(n))$ 倍となります．

コンストラクタ

(1) SegmentTree<S, op, e> seg(int n)
(2) SegmentTree<S, op, e> seg(vector<S> v)

• 型 S
• 二項演算 S op(S a, S b)
• 単位元 S e()

を定義する必要があります．

例として，Range Minimum Queryなら，

int op(int a, int b) {
    return min(a, b);
}
int e() {
    return (int)1e9;
}
SegmentTree<int, op, e> seg(10);

のようになります．

• (1): 長さ n の数列 a を作ります．初期値は全部 e() です．
• (2): 長さ n = ssize(v) の数列 a を作ります．v の内容が初期値となります．

計算量

• $O(n)$

set

void seg.set(int p, S x)

a[p] に x を代入します．

制約

• $0 \leq p < n$

計算量

• $O(\log n)$

get

S seg.get(int p)

a[p] を返します．

制約

• $0 \leq p < n$

計算量

• $O(1)$

prod

S seg.prod(int l, int r)

op(a[l], ..., a[r - 1]) を，モノイドの性質を満たしていると仮定して計算します．
$l = r$ のときは e() を返します．

制約

• $0 \leq l \leq r \leq n$

計算量

• $O(\log n)$

all_prod

S seg.all_prod()

op(a[0], ..., a[n - 1]) を計算します．
$n = 0$ のときは e() を返します．

計算量

• $O(1)$

max_right

(1) int seg.max_right<f>(int l)
(2) int seg.max_right<F>(int l, F f)

• (1): 関数 bool f(S x) を定義する必要があります．segtreeの上で二分探索をします．
• (2): S を引数にとり bool を返す関数オブジェクトを渡して使用します．

以下の条件を両方満たす r を (いずれか一つ) 返します．

• r = l もしくは f(op(a[l], a[l + 1], ..., a[r - 1])) = true
• r = n もしくは f(op(a[l], a[l + 1], ..., a[r])) = false

f が単調だとすれば，f(op(a[l], a[l + 1], ..., a[r - 1])) = true となる最大の r ，と解釈することが可能です．

制約

• f を同じ引数で呼んだ時，返り値は等しい (=副作用はない)
• f(e()) = true
• $0 \leq l \leq n$

計算量

• $O(\log n)$

min_left

(1) int seg.min_left<f>(int r)
(2) int seg.min_left<F>(int r, F f)

• (1): 関数 bool f(S x) を定義する必要があります．segtreeの上で二分探索をします．
• (2): S を引数にとり bool を返す関数オブジェクトを渡して使用します．

以下の条件を両方満たす l を(いずれか一つ)返します．

• l = r もしくは f(op(a[l], a[l + 1], ..., a[r - 1])) = true
• l = 0 もしくは f(op(a[l - 1], a[l], ..., a[r - 1])) = false

f が単調だとすれば，f(op(a[l], a[l + 1], ..., a[r - 1])) = true となる最小の l ，と解釈することが可能です．

制約

• f を同じ引数で呼んだ時，返り値は等しい(=副作用はない)
• f(e()) = true
• $0 \leq r \leq n$

計算量

• $O(\log n)$

Depends on

• template (src/template/template.hpp)

Verified with

• verify/library_checker/data_structure/point_set_range_composite.test.cpp
• verify/library_checker/data_structure/predecessor_problem.test.cpp
• verify/library_checker/tree/vertex_set_path_composite.test.cpp

Code

#pragma once
#include "../template/template.hpp"
template <typename S, auto op, auto e>
struct SegmentTree {
    SegmentTree(const int N)
        : SegmentTree(vector<S>(N, e())) {}
    SegmentTree(const vector<S>& v)
        : n((int)v.size()) {
        size = bit_ceil((unsigned int)n);
        log = countr_zero((unsigned int)size);
        data = vector<S>(2 * size, e());
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            data[size + i] = v[i];
        }
        for(int i = size - 1; i >= 1; --i) {
            update(i);
        }
    }
    void set(int p, const S& x) {
        assert(0 <= p and p < n);
        p += size;
        data[p] = x;
        for(int i = 1; i <= log; ++i) {
            update(p >> i);
        }
    }
    S get(const int p) const {
        assert(0 <= p and p < n);
        return data[p + size];
    }
    S prod(int l, int r) const {
        assert(0 <= l and l <= r and r <= n);
        S sml = e(), smr = e();
        l += size;
        r += size;
        while(l < r) {
            if(l & 1) sml = op(sml, data[l++]);
            if(r & 1) smr = op(data[--r], smr);
            l >>= 1;
            r >>= 1;
        }
        return op(sml, smr);
    }
    S all_prod() const {
        return data[1];
    }

    template <bool (*f)(S)>
    int max_right(const int l) const {
        return max_right(l, [](const S& x) { return f(x); });
    }
    template <class F>
    int max_right(int l, const F& f) const {
        assert(0 <= l and l <= n);
        assert(f(e()));
        if(l == n) return n;
        l += size;
        S sm = e();
        do {
            while(l % 2 == 0) l >>= 1;
            if(!f(op(sm, data[l]))) {
                while(l < size) {
                    l = l * 2;
                    if(f(op(sm, data[l]))) {
                        sm = op(sm, data[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - size;
            }
            sm = op(sm, data[l]);
            ++l;
        } while((l & -l) != l);
        return n;
    }

    template <bool (*f)(S)>
    int min_left(const int r) const {
        return min_left(r, [](const S& x) { return f(x); });
    }
    template <class F>
    int min_left(int r, const F& f) const {
        assert(0 <= r and r <= n);
        assert(f(e()));
        if(r == 0) return 0;
        r += size;
        S sm = e();
        do {
            --r;
            while(r > 1 and (r % 2)) r >>= 1;
            if(!f(op(data[r], sm))) {
                while(r < size) {
                    r = 2 * r + 1;
                    if(f(op(data[r], sm))) {
                        sm = op(data[r], sm);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - size;
            }
            sm = op(data[r], sm);
        } while((r & -r) != r);
        return 0;
    }

   private:
    int n, size, log;
    vector<S> data;
    inline void update(const int k) {
        data[k] = op(data[2 * k], data[2 * k + 1]);
    }
    inline unsigned int bit_ceil(const unsigned int n) const {
        unsigned int res = 1;
        while(res < n) res *= 2;
        return res;
    }
    inline int countr_zero(const unsigned int n) const {
        return __builtin_ctz(n);
    }
};

#line 2 "src/template/template.hpp"
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using P = pair<long long, long long>;
#define rep(i, a, b) for(long long i = (a); i < (b); ++i)
#define rrep(i, a, b) for(long long i = (a); i >= (b); --i)
constexpr long long inf = 4e18;
struct SetupIO {
    SetupIO() {
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0);
        cout << fixed << setprecision(30);
    }
} setup_io;
#line 3 "src/data_structure/segment_tree.hpp"
template <typename S, auto op, auto e>
struct SegmentTree {
    SegmentTree(const int N)
        : SegmentTree(vector<S>(N, e())) {}
    SegmentTree(const vector<S>& v)
        : n((int)v.size()) {
        size = bit_ceil((unsigned int)n);
        log = countr_zero((unsigned int)size);
        data = vector<S>(2 * size, e());
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            data[size + i] = v[i];
        }
        for(int i = size - 1; i >= 1; --i) {
            update(i);
        }
    }
    void set(int p, const S& x) {
        assert(0 <= p and p < n);
        p += size;
        data[p] = x;
        for(int i = 1; i <= log; ++i) {
            update(p >> i);
        }
    }
    S get(const int p) const {
        assert(0 <= p and p < n);
        return data[p + size];
    }
    S prod(int l, int r) const {
        assert(0 <= l and l <= r and r <= n);
        S sml = e(), smr = e();
        l += size;
        r += size;
        while(l < r) {
            if(l & 1) sml = op(sml, data[l++]);
            if(r & 1) smr = op(data[--r], smr);
            l >>= 1;
            r >>= 1;
        }
        return op(sml, smr);
    }
    S all_prod() const {
        return data[1];
    }

    template <bool (*f)(S)>
    int max_right(const int l) const {
        return max_right(l, [](const S& x) { return f(x); });
    }
    template <class F>
    int max_right(int l, const F& f) const {
        assert(0 <= l and l <= n);
        assert(f(e()));
        if(l == n) return n;
        l += size;
        S sm = e();
        do {
            while(l % 2 == 0) l >>= 1;
            if(!f(op(sm, data[l]))) {
                while(l < size) {
                    l = l * 2;
                    if(f(op(sm, data[l]))) {
                        sm = op(sm, data[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - size;
            }
            sm = op(sm, data[l]);
            ++l;
        } while((l & -l) != l);
        return n;
    }

    template <bool (*f)(S)>
    int min_left(const int r) const {
        return min_left(r, [](const S& x) { return f(x); });
    }
    template <class F>
    int min_left(int r, const F& f) const {
        assert(0 <= r and r <= n);
        assert(f(e()));
        if(r == 0) return 0;
        r += size;
        S sm = e();
        do {
            --r;
            while(r > 1 and (r % 2)) r >>= 1;
            if(!f(op(data[r], sm))) {
                while(r < size) {
                    r = 2 * r + 1;
                    if(f(op(data[r], sm))) {
                        sm = op(data[r], sm);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - size;
            }
            sm = op(data[r], sm);
        } while((r & -r) != r);
        return 0;
    }

   private:
    int n, size, log;
    vector<S> data;
    inline void update(const int k) {
        data[k] = op(data[2 * k], data[2 * k + 1]);
    }
    inline unsigned int bit_ceil(const unsigned int n) const {
        unsigned int res = 1;
        while(res < n) res *= 2;
        return res;
    }
    inline int countr_zero(const unsigned int n) const {
        return __builtin_ctz(n);
    }
};

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